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title: "Solución · Ejercicio 02 — Normalidad, no conformidad y TCL"
subtitle: "Sesión 1"
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    theme: flatly
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```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE, fig.width = 7, fig.height = 3.5)
library(tidyverse); library(knitr); library(nortest); library(patchwork)
theme_set(theme_minimal(base_size = 12))
peso <- read_csv("../datos/peso-bolsas-azucar.csv")$peso_g
tiempo <- read_csv("../datos/tiempo-atencion.csv")$tiempo_min
```

## Parte A — Bolsas de azúcar

### a) Normalidad

```{r normalidad}
h <- ggplot(tibble(peso), aes(peso)) + geom_histogram(bins = 10, fill = "steelblue", colour = "white") +
  geom_vline(xintercept = 990, colour = "red", linetype = 2) + labs(x = "Peso (g)", y = "Frecuencia")
q <- ggplot(tibble(peso), aes(sample = peso)) + geom_qq() + geom_qq_line(colour = "red") +
  labs(x = "Cuantil teórico", y = "Peso (g)")
h + q
c(media = mean(peso), s = sd(peso)) |> round(2)
c(Shapiro_p = shapiro.test(peso)$p.value, AD_p = ad.test(peso)$p.value) |> round(3)
```

Los puntos del Q-Q siguen la recta y ninguna prueba rechaza ($p > 0.05$): el modelo
normal es razonable.

### b) Proporción bajo 990 g

```{r prop}
mu <- mean(peso); s <- sd(peso)
p_b <- pnorm(990, mu, s)
c(z = (990 - mu) / s, proporcion = p_b, ppm = p_b * 1e6) |> round(4)
```

Se esperan unas **`r round(p_b * 1e6)` ppm** por debajo de 990 g.

### c) Bajar la media a 998 g

```{r escenario}
p_c <- pnorm(990, 998, s)
sigma_req <- (998 - 990) / qnorm(1 - p_b)
c(ppm_con_998 = p_c * 1e6, sigma_requerida = sigma_req) |> round(2)
```

Con la misma $\sigma$, las bolsas bajo 990 g subirían a unas **`r round(p_c * 1e6)` ppm**.
Para mantener el nivel actual habría que reducir $\sigma$ a **`r round(sigma_req, 2)` g**:
centrar sin reducir variabilidad aumenta el riesgo de incumplir.

### d) Error estándar

```{r ee}
c(EE_n50 = s / sqrt(50), n_para_mitad = 4 * 50)
```

Para reducir el error estándar a la mitad hay que **cuadruplicar** $n$ (200 bolsas).

## Parte B — Tiempo de atención

### e) Por qué no usar la normal para un tiempo individual

```{r cola}
c(observada = mean(tiempo > 25),
  normal = 1 - pnorm(25, mean(tiempo), sd(tiempo)),
  shapiro_p = shapiro.test(tiempo)$p.value) |> signif(3)
```

Los tiempos son **asimétricos a la derecha** (Shapiro rechaza). Un $n$ grande no vuelve
normales a los datos individuales; la normal subestima la cola larga.

### f) Promedio diario de 36 clientes

```{r tcl}
mu_t <- mean(tiempo); sigma_t <- sd(tiempo); ee <- sigma_t / sqrt(36)
c(mu = mu_t, EE = ee, inf = mu_t - 1.96 * ee, sup = mu_t + 1.96 * ee) |> round(2)
```

### g) Por qué f) sí y e) no

El TCL se aplica a la **media** de 36 tiempos independientes: su distribución es
aproximadamente normal aunque los tiempos no lo sean. La pregunta e) es sobre un
**dato individual**, al que el TCL no se aplica.