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title: "02 · Normalidad y Teorema Central del Límite"
subtitle: "Sesión 1 — Variabilidad, normalidad e inferencia"
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## Objetivos

- Verificar el supuesto de normalidad con el **gráfico de probabilidad normal** y con las
  pruebas de **Shapiro-Wilk** y **Anderson-Darling**.
- Ver cómo una mezcla y una distribución asimétrica se delatan en el Q-Q.
- Comprobar por **simulación** qué asegura y qué no asegura el TCL.

**Paquetes:** `tidyverse`, `knitr`, `nortest`, `patchwork`.

> Teoría: [`../teoria/03-normalidad-tcl.md`](../teoria/03-normalidad-tcl.md).

```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE,
                      fig.width = 7, fig.height = 4)
```

```{r paquetes}
library(tidyverse)
library(knitr)
library(nortest)
library(patchwork)
theme_set(theme_minimal(base_size = 12))
set.seed(2026)
```

## 1. Normalidad en el caso de las boquillas

```{r datos-llenado}
llenado <- read_csv("../datos/llenado-envases.csv")
```

```{r qq-llenado, fig.height = 4}
q_todos <- ggplot(llenado, aes(sample = volumen_ml)) +
  geom_qq() + geom_qq_line(colour = "red") +
  labs(title = "Todos los envases", x = "Cuantil teórico N(0,1)", y = "Volumen (mL)")
q_boq <- ggplot(llenado, aes(sample = volumen_ml, colour = boquilla)) +
  geom_qq() + geom_qq_line() +
  labs(title = "Por boquilla", x = "Cuantil teórico N(0,1)", y = NULL)
q_todos + q_boq
```

El Q-Q global muestra un **escalón** en el centro (mezcla); por boquilla los puntos se
alinean.

```{r pruebas-llenado}
pruebas <- function(y) c(SW_p = shapiro.test(y)$p.value, AD_p = ad.test(y)$p.value)
bind_rows(
  tibble(grupo = "Todos", !!!pruebas(llenado$volumen_ml)),
  llenado |> group_by(grupo = boquilla) |> summarise(as_tibble_row(pruebas(volumen_ml)))
) |> kable(digits = 4, caption = "Valores p de las pruebas de normalidad")
```

Con todos los datos se **rechaza** la normalidad; dentro de cada boquilla, no.

## 2. Una variable asimétrica: tiempo de atención

```{r datos-atencion}
atencion <- read_csv("../datos/tiempo-atencion.csv")
atencion |>
  group_by(canal) |>
  summarise(n = n(), media = mean(tiempo_min), mediana = median(tiempo_min),
            s = sd(tiempo_min)) |>
  kable(digits = 2)
```

```{r graf-atencion}
h <- ggplot(atencion, aes(tiempo_min)) +
  geom_histogram(binwidth = 1.5, fill = "darkorange", colour = "white") +
  labs(title = "Tiempo de atención", x = "min", y = "Frecuencia")
q <- ggplot(atencion, aes(sample = tiempo_min)) + geom_qq() + geom_qq_line(colour = "red") +
  labs(title = "Q-Q normal", x = "Cuantil teórico", y = "min")
h + q
shapiro.test(atencion$tiempo_min)
```

El Q-Q tiene forma de **J** (asimetría a la derecha): los tiempos **no** son normales.
La media supera a la mediana.

### Consecuencia práctica

¿Qué fracción de clientes espera más de 20 minutos?

```{r prob-cola}
p_obs <- mean(atencion$tiempo_min > 20)
p_normal <- 1 - pnorm(20, mean(atencion$tiempo_min), sd(atencion$tiempo_min))
c(observada = p_obs, modelo_normal = p_normal) |> round(4)
```

Un modelo normal **no** reproduce bien la cola de esta distribución asimétrica: para
preguntas sobre datos individuales hay que usar un modelo adecuado (gamma, lognormal) o los
datos mismos.

## 3. El TCL por simulación

Tomamos la muestra de tiempos de atención como si fuera la **población** y extraemos
muchas muestras de tamaño $n$; para cada una calculamos la media.

```{r tcl-sim, fig.height = 6}
poblacion <- atencion$tiempo_min
medias <- map_dfr(c(2, 5, 15, 40), function(n) {
  tibble(n = n, media = replicate(3000, mean(sample(poblacion, n, replace = TRUE))))
})
ggplot(medias, aes(media)) +
  geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), bins = 40, fill = "steelblue", colour = "white") +
  facet_wrap(~ n, scales = "free", labeller = label_both) +
  labs(title = "Distribución de la media muestral", x = "Media de la muestra (min)", y = "Densidad")
```

```{r tcl-tabla}
medias |>
  group_by(n) |>
  summarise(media_de_medias = mean(media), sd_de_medias = sd(media),
            sigma_sobre_raiz_n = sd(poblacion) / sqrt(first(n)),
            shapiro_p = shapiro.test(sample(media, 500))$p.value) |>
  kable(digits = 3)
```

- La media de las medias ≈ media poblacional (`r round(mean(poblacion), 2)` min).
- Su desviación ≈ $\sigma/\sqrt{n}$: el **error estándar** baja al crecer $n$.
- La forma se acerca a la normal al crecer $n$ (con $n = 2$ todavía es asimétrica).

### Lo que el TCL no hace

```{r tcl-no}
muestra40 <- sample(poblacion, 40)
shapiro.test(muestra40)$p.value
```

Una muestra de 40 tiempos **individuales** sigue siendo asimétrica: el TCL habla de la
**media**, no de los datos.

## 4. Conclusiones

- El gráfico Q-Q es la primera herramienta; las pruebas formales lo complementan.
- Un **escalón** en el Q-Q delata una mezcla; una **J**, asimetría.
- El TCL respalda la inferencia sobre la **media** con muestras moderadas, pero no
  autoriza a usar la normal para la fracción de casos en la cola.