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title: "03 · Correlación y regresión lineal"
subtitle: "Sesión 2 — Inferencia aplicada, regresión y supuestos"
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## Objetivos

- Explorar relaciones con diagramas de dispersión y la matriz de correlación.
- Ajustar e interpretar una regresión simple y una múltiple con `lm()`.
- Usar la ecuación de predicción con su IC para la media y su intervalo de predicción.

**Paquetes:** `tidyverse`, `knitr`, `broom`, `car`.

> Teoría: [`../teoria/04-correlacion-regresion.md`](../teoria/04-correlacion-regresion.md).

```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE,
                      fig.width = 7, fig.height = 4)
```

```{r paquetes}
library(tidyverse)
library(knitr)
library(broom)
library(car)
theme_set(theme_minimal(base_size = 12))
```

## 1. Los datos

Un fabricante de adhesivos estructurales registró la **resistencia al corte (MPa)** de
30 probetas curadas a distintas **temperaturas** (°C), **tiempos** (min) y con distinta
**humedad relativa** (%) del ambiente.

```{r datos}
curado <- read_csv("../datos/curado-adhesivo.csv")
summary(curado[-1])
```

## 2. Exploración y correlación

```{r dispersion, fig.height = 3.5}
curado |>
  pivot_longer(c(temperatura_c, tiempo_min, humedad_pct), names_to = "variable", values_to = "x") |>
  ggplot(aes(x, resistencia_mpa)) +
  geom_point() + geom_smooth(method = "lm", se = FALSE) +
  facet_wrap(~ variable, scales = "free_x") +
  labs(x = NULL, y = "Resistencia (MPa)")
```

```{r correlacion}
cor(curado[-1]) |> kable(digits = 2)
cor.test(curado$temperatura_c, curado$resistencia_mpa)
```

## 3. Regresión simple: resistencia vs. temperatura

```{r simple}
m1 <- lm(resistencia_mpa ~ temperatura_c, data = curado)
summary(m1)
```

Ecuación ajustada:

$$\hat{y} = `r round(coef(m1)[1], 3)` + `r round(coef(m1)[2], 4)`\,x_{\text{temp}}$$

- Por cada °C adicional, la resistencia media aumenta
  `r round(coef(m1)[2], 4)` MPa (IC 95 %: `r round(confint(m1)[2, ], 4)`).
- $R^2 =$ `r round(summary(m1)$r.squared, 3)`: la temperatura sola explica ese porcentaje
  de la variabilidad. En simple, $R^2 = r^2$ = `r round(cor(curado$temperatura_c, curado$resistencia_mpa)^2, 3)`.

```{r anova-simple}
anova(m1)
```

## 4. Regresión múltiple

```{r multiple}
m2 <- lm(resistencia_mpa ~ temperatura_c + tiempo_min + humedad_pct, data = curado)
summary(m2)
tidy(m2, conf.int = TRUE) |> kable(digits = 4)
```

```{r comparar}
bind_rows(glance(m1) |> mutate(modelo = "Simple (temp)"),
          glance(m2) |> mutate(modelo = "Múltiple (temp + tiempo + humedad)")) |>
  select(modelo, r.squared, adj.r.squared, sigma, p.value) |>
  kable(digits = 4)
vif(m2)
```

- Temperatura y tiempo son significativos; la **humedad no** lo es en este rango.
- $\hat\sigma$ baja al agregar el tiempo: las predicciones serán más precisas.
- VIF ≈ 1: no hay multicolinealidad.

### Modelo reducido

```{r reducido}
m3 <- lm(resistencia_mpa ~ temperatura_c + tiempo_min, data = curado)
summary(m3)$coefficients |> kable(digits = 4)
anova(m3, m2)   # ¿aporta algo la humedad?
```

## 5. Predicción: IC vs. IP

Condición de operación propuesta: **85 °C** durante **30 min**.

```{r prediccion}
nuevo <- tibble(temperatura_c = 85, tiempo_min = 30)
bind_rows(
  as_tibble(predict(m3, nuevo, interval = "confidence")) |> mutate(tipo = "IC para la media"),
  as_tibble(predict(m3, nuevo, interval = "prediction")) |> mutate(tipo = "IP para una probeta")
) |> relocate(tipo) |> kable(digits = 3)
```

- El **IC** dice dónde está la resistencia **promedio** de todas las probetas curadas así.
- El **IP** dice dónde caerá **una** probeta nueva; es el que importa si la especificación
  aplica a cada unión.

```{r bandas}
grid <- tibble(temperatura_c = seq(60, 100, 1), tiempo_min = 30)
bandas <- bind_cols(grid,
  as_tibble(predict(m3, grid, interval = "confidence")) |> rename(ic_inf = lwr, ic_sup = upr),
  as_tibble(predict(m3, grid, interval = "prediction")) |> select(ip_inf = lwr, ip_sup = upr))
ggplot(bandas, aes(temperatura_c, fit)) +
  geom_ribbon(aes(ymin = ip_inf, ymax = ip_sup), fill = "orange", alpha = 0.25) +
  geom_ribbon(aes(ymin = ic_inf, ymax = ic_sup), fill = "steelblue", alpha = 0.4) +
  geom_line() +
  labs(title = "Tiempo = 30 min: IC (azul) e IP (naranja) al 95 %",
       x = "Temperatura (°C)", y = "Resistencia (MPa)")
```

> No extrapoles fuera de 60–100 °C ni de 10–40 min.

## 6. Conclusiones

- Modelo final: resistencia ≈ `r round(coef(m3)[1], 2)` +
  `r round(coef(m3)[2], 4)`·temperatura + `r round(coef(m3)[3], 4)`·tiempo
  ($R^2_{aj}$ = `r round(summary(m3)$adj.r.squared, 3)`).
- Antes de usarlo hay que **validar los supuestos** (práctica 04).
- Estos datos son observacionales: para afirmar causalidad y encontrar el óptimo, el
  camino es un **experimento diseñado** (ASC22).