Estadística descriptiva comparativa — Análisis Estadístico

Objetivos. Elegir las medidas y gráficos que permiten comparar grupos y detectar valores atípicos en datos de procesos de calidad. · RAA1

1. Medidas de posición

Medida	Fórmula / definición	Robusta a atípicos
Media	$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum y_i$	❌
Mediana	Valor central de los datos ordenados ( $Q_2$ )	✅
Cuartiles	$Q_1$ (25 %), $Q_3$ (75 %)	✅
Percentil $p$	Valor que deja el $p\,\%$ de los datos por debajo	✅

Si la media y la mediana difieren mucho, la distribución es asimétrica o hay atípicos.

2. Medidas de dispersión

s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2, \qquad s=\sqrt{s^2}, \qquad \text{RIC} = Q_3 - Q_1, \qquad CV = \frac{s}{\bar{y}}\times 100\,\% .

$s$ está en las mismas unidades que los datos.
El RIC es robusto; el coeficiente de variación permite comparar dispersión de variables con escalas distintas.
El rango $y_{\max}-y_{\min}$ se usa en cartas de control con subgrupos pequeños.

3. Puntaje Z y regla empírica

El puntaje Z expresa a cuántas desviaciones estándar está una observación de la media:

z_i = \frac{y_i - \bar{y}}{s}.

Regla empírica (datos aproximadamente normales y en forma de campana):

Intervalo	Proporción esperada
$\bar{y} \pm 1s$	≈ 68 %
$\bar{y} \pm 2s$	≈ 95 %
$\bar{y} \pm 3s$	≈ 99.7 %

Un $|z|>3$ es sospechoso de atípico si los datos son aproximadamente normales. Con datos asimétricos o bimodales, la regla empírica no aplica (compárala con las proporciones observadas para comprobarlo).

4. Atípicos por la regla del diagrama de cajas

Se marcan como atípicos los puntos fuera de las vallas de Tukey:

[\,Q_1 - 1.5\,\text{RIC},\; Q_3 + 1.5\,\text{RIC}\,].

Un atípico no se borra por ser atípico: se investiga. Puede ser un error de registro (se corrige), una causa asignable (se documenta y se actúa) o un valor legítimo de la cola (se conserva).

5. Gráficos para comparar grupos

Gráfico	Qué muestra bien	Limitación	`ggplot2`
Cajas (boxplot)	Mediana, RIC, atípicos; comparación de muchos grupos	Oculta la bimodalidad	`geom_boxplot()`
Violín	Forma completa de la distribución por grupo	Suaviza con muestras pequeñas	`geom_violin()`
Histograma	Forma, modas, asimetría	Depende del ancho de clase	`geom_histogram()`
Acumulada empírica (ECDF)	Percentiles; comparar distribuciones completas	Menos intuitiva	`stat_ecdf()`
Puntos / jitter	Cada dato individual; muestras pequeñas	Se satura con $n$ grande	`geom_jitter()`

Buena práctica. Combina un gráfico de resumen (cajas) con uno de forma (violín o histograma) y superpone los datos individuales cuando $n$ es pequeño.

6. Flujo de análisis descriptivo

Leer los datos y revisar tipos, faltantes y rangos imposibles.
Graficar toda la muestra (histograma): ¿una o varias modas?
Estratificar por las variables candidatas a causa asignable.
Resumir por grupo: $n$ , media, mediana, $s$ , RIC, mín., máx.
Identificar atípicos (vallas de Tukey, $|z|>3$ ) e investigarlos.
Comparar contra la especificación (nominal y tolerancias).

Para repasar

¿Por qué un diagrama de cajas puede ocultar una distribución bimodal?
Si $\bar{y}=500.2$ mL y $s=1.9$ mL, ¿qué fracción esperarías fuera de 500 ± 4 mL bajo normalidad?
¿Cuándo preferirías la mediana y el RIC sobre la media y $s$ ?

Referencias

Navidi, W. Estadística para ingenieros y científicos, cap. 1.
Mendenhall, W. Introducción a la probabilidad y estadística, cap. 2.

02 Estadística descriptiva comparativa