Normalidad y Teorema Central del Límite — Análisis Estadístico

Objetivos. Modelar la variabilidad de una característica de calidad con una distribución de probabilidad, verificar el supuesto de normalidad y entender qué asegura y qué no asegura el Teorema Central del Límite (TCL). · RAA2

1. Modelos de probabilidad para características de calidad

Distribución	Variable típica	Parámetros	En R
Normal $N(\mu,\sigma^2)$	Dimensiones, pesos, volúmenes	$\mu$ , $\sigma$	`dnorm`, `pnorm`, `qnorm`, `rnorm`
Exponencial / Gamma	Tiempos de atención, de falla	tasa, forma	`pexp`, `pgamma`
Lognormal	Concentraciones, tiempos de reparación	$\mu_{\log}$ , $\sigma_{\log}$	`plnorm`
Binomial	N.º de defectuosos en $n$ unidades	$n$ , $p$	`pbinom`
Poisson	N.º de defectos por unidad	$\lambda$	`ppois`

Con un modelo normal ajustado, la fracción fuera de especificaciones $[LIE, LSE]$ es:

P(\text{no conforme}) = \Phi\!\left(\frac{LIE-\mu}{\sigma}\right) + 1 - \Phi\!\left(\frac{LSE-\mu}{\sigma}\right).

2. ¿Son normales mis datos?

2.1 Gráfico de probabilidad normal (Q-Q)

Se grafican los cuantiles de la muestra frente a los cuantiles teóricos de la normal. Si los datos son normales, los puntos caen cerca de una recta.

Patrón en el Q-Q	Diagnóstico
Puntos sobre la recta	Compatible con normalidad
Curva en forma de U o J	Asimetría a la derecha
Forma de S	Colas más livianas o más pesadas que la normal
Escalón o quiebre en el centro	Mezcla de poblaciones (bimodalidad)
Uno o dos puntos alejados en un extremo	Atípicos

En R: qqnorm(y); qqline(y) o ggplot(df, aes(sample = y)) + geom_qq() + geom_qq_line().

2.2 Pruebas formales

$H_0$ : los datos provienen de una distribución normal · $H_1$ : no provienen.

Prueba	Fortaleza	En R
Shapiro-Wilk	La más potente para $n \le 5000$	`shapiro.test(y)`
Anderson-Darling	Sensible en las colas (útil en calidad)	`nortest::ad.test(y)`
Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors)	Menos potente	`nortest::lillie.test(y)`

⚠️ Con $n$ pequeño, las pruebas tienen poca potencia (casi nunca rechazan). Con $n$ muy grande, rechazan por desviaciones sin importancia práctica. Usa siempre el gráfico Q-Q junto con la prueba.

2.3 ¿Qué hacer si no hay normalidad?

Buscar una mezcla (estratificar): resuelve el caso bimodal.
Revisar atípicos.
Usar un modelo más adecuado (gamma, lognormal) o una transformación (log, Box-Cox; Sesión 2).
Si el objetivo es inferir sobre la media, recordar el TCL (siguiente sección).

3. Teorema Central del Límite

Si $y_1,\dots,y_n$ son independientes, con media $\mu$ y varianza finita $\sigma^2$ , entonces, para $n$ suficientemente grande,

\bar{y} \;\dot\sim\; N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^2}{n}\right) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{\bar{y}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \;\dot\sim\; N(0,1).

La cantidad $\sigma/\sqrt{n}$ es el error estándar de la media.

Qué asegura y qué no

✅ El TCL sí asegura	❌ El TCL no asegura
Que la media muestral es aproximadamente normal con $n$ grande	Que los datos individuales sean normales
Que el error estándar disminuye como $1/\sqrt{n}$	Que $n=30$ sea suficiente siempre (depende de la asimetría)
Robustez de los IC y pruebas para la media	Robustez de los IC y pruebas para la varianza ( $\chi^2$ , $F$ )
	Que la fracción fuera de especificación pueda calcularse con la normal
	Nada si los datos no son independientes

En calidad: el TCL justifica la carta $\bar{X}$ y la prueba $t$ con muestras moderadas, pero no autoriza a calcular la proporción de envases no conformes con un modelo normal si los volúmenes individuales no son normales.

Para repasar

Un Q-Q muestra un escalón en el centro. ¿Qué sospechas y qué harías primero?
¿Por qué el TCL no te ayuda a estimar la fracción de tiempos de atención mayores a 20 min?
Si $\sigma = 6$ min, ¿cuál es el error estándar de la media con $n = 36$ ?

Referencias

Montgomery, D. C. y Runger, G. C. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, cap. 4, 6 y 7.
Navidi, W. Estadística para ingenieros y científicos, cap. 4.

03 Normalidad y Teorema Central del Límite