Supuestos y diagnóstico: análisis de residuales — Análisis Estadístico

Objetivos. Validar un modelo lineal mediante el análisis de residuales, detectar observaciones atípicas e influyentes y aplicar transformaciones cuando los supuestos no se cumplen. Es la base de la validación del modelo en ASC22. · RAA4

1. Los supuestos viven en el error

El modelo $y = \beta_0 + \sum \beta_j x_j + \varepsilon$ supone que los errores $\varepsilon_i$ son:

Supuesto	Qué significa	Si falla
Linealidad	La media de $y$ es lineal en los $x$	Predicciones sesgadas
Independencia	Los errores no se influyen entre sí	Errores estándar y valores p incorrectos
Varianza constante (homocedasticidad)	$\text{Var}(\varepsilon_i) = \sigma^2$ en todo el rango	IC e IP incorrectos; valores p poco confiables
Normalidad	$\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$	IP incorrectos; pruebas poco fiables con $n$ pequeño

Como no observamos los $\varepsilon_i$ , usamos los residuales $e_i = y_i - \hat{y}_i$ .

2. Los cuatro gráficos de diagnóstico

plot(modelo) en R produce:

Gráfico	Se ve bien si…	Patrón problemático
Residuales vs. ajustados	Nube sin forma alrededor de 0	Curva → falta de linealidad; embudo → varianza no constante
Q-Q normal de residuales	Puntos sobre la recta	Colas, curvatura, puntos aislados
Escala-ubicación ($\sqrt{	e_{\text{std}}	}$ vs. ajustados)
Residuales vs. apalancamiento	Ningún punto más allá de las curvas de Cook	Puntos influyentes

Además: residuales vs. orden de recolección (independencia en el tiempo) y vs. cada predictor (linealidad en cada $x_j$ ).

Pruebas formales complementarias: shapiro.test(residuals(m)), car::ncvTest(m) (varianza constante), car::durbinWatsonTest(m) (autocorrelación).

3. Atípicos, apalancamiento e influencia

Concepto	Medida	Regla práctica
Atípico en $y$	Residual estudentizado $r_i$	$
Apalancamiento (valor extremo en $x$ )	$h_{ii}$ (diagonal de la matriz sombrero)	$h_{ii} > 2p/n$
Influencia (cambia el ajuste)	Distancia de Cook $D_i$	$D_i > 1$ (o > $4/n$ para revisar)

Un punto es influyente cuando combina apalancamiento alto y residual grande: al quitarlo, los coeficientes cambian de forma apreciable.

Como con los atípicos descriptivos: se investigan, no se borran. Si es un error de registro, se corrige; si es real, se reporta el modelo con y sin el punto.

En R: rstudent(m), hatvalues(m), cooks.distance(m), car::influencePlot(m).

4. Transformaciones

Cuando la variabilidad crece con el nivel de la respuesta (embudo), o la relación es multiplicativa, una transformación de $y$ (y a veces de $x$ ) puede estabilizar la varianza y linealizar:

Situación	Transformación
$\sigma \propto \mu$ (error multiplicativo)	$\log y$
Conteos (Poisson)	$\sqrt{y}$
Proporciones	$\arcsin\sqrt{p}$ o logit
No es obvio	Box-Cox: $y^{(\lambda)}$ , elegir $\lambda$ con `MASS::boxcox(m)`

Con $\log y = \beta_0 + \beta_1 \log x$ , $\beta_1$ es una elasticidad: un aumento del 1 % en $x$ se asocia con un cambio de $\beta_1$ % en $y$ .

Al transformar, las predicciones deben devolverse a la escala original para comunicarlas (p. ej., exp() de los límites del IP).

5. Flujo de validación del modelo

Ajustar el modelo y revisar los cuatro gráficos antes de leer los valores p.
Si hay patrón: ¿falta un término (curvatura, otra variable)? ¿Transformación?
Revisar puntos influyentes; investigar su origen.
Reajustar y volver a diagnosticar.
Solo entonces interpretar coeficientes, $R^2$ y predicciones.

Este mismo flujo (ajustar → residuales → corregir → interpretar) es el que se aplica a cada ANOVA en ASC22.

Para repasar

Describe el gráfico de residuales vs. ajustados de un modelo con varianza creciente.
Un punto tiene $h_{ii}$ alto pero residual pequeño. ¿Es influyente?
¿Por qué se revisan los residuales antes de interpretar los valores p?

Referencias

Montgomery, D. C. y Runger, G. C. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, cap. 11–12.
Montgomery, D. C. Design and Analysis of Experiments, cap. 3 (§3.4) y cap. 10.

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