Pruebas t y razón de varianzas — Análisis Estadístico

Objetivos. Elegir y aplicar la prueba adecuada para comparar medias (una muestra, dos muestras independientes, muestras pareadas) y varianzas (razón $F$ ), según cómo se recogieron los datos. · RAA3

1. ¿Qué prueba uso? La pregunta es el diseño

¿Cuántas muestras?
│
├─ Una, contra un valor de referencia ............ t de una muestra
│
└─ Dos
   ├─ Las mismas unidades medidas dos veces
   │  (antes/después, dos instrumentos) ......... t PAREADA
   │
   └─ Unidades distintas e independientes
      ├─ ¿Varianzas iguales? (prueba F, gráficos)
      │   ├─ Sí ................................. t con varianza combinada
      │   └─ No / dudoso ......................... t de Welch (opción por defecto en R)
      └─ ¿Se quiere comparar dispersión? ......... F (razón de varianzas)

2. t de una muestra (repaso)

t_0 = \frac{\bar{y}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}\ \text{bajo } H_0 .

En R: t.test(y, mu = mu0, alternative = "two.sided" | "less" | "greater").

3. Dos muestras independientes

Hipótesis: $H_0: \mu_1 = \mu_2$ (o $\mu_1-\mu_2=\Delta_0$ ).

3.1 Varianzas iguales (combinada)

t_0 = \frac{\bar{y}_1-\bar{y}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}, \qquad s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}, \qquad gl = n_1+n_2-2 .

3.2 Varianzas distintas (Welch)

t_0 = \frac{\bar{y}_1-\bar{y}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}, \qquad \nu = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} .

Recomendación práctica. Usa Welch por defecto (t.test(y ~ grupo)). Pierde muy poca potencia cuando las varianzas son iguales y protege cuando no lo son, sobre todo con tamaños de muestra distintos.

4. Muestras pareadas

Cuando cada unidad se mide en ambas condiciones, se analizan las diferencias $d_i = y_{1i} - y_{2i}$ :

t_0 = \frac{\bar{d}-\Delta_0}{s_d/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}.

El emparejamiento elimina la variabilidad entre unidades del error. Si las unidades son muy distintas entre sí (probetas de dureza variada, hornos a distintas temperaturas), la prueba pareada es mucho más potente que la de dos muestras.

⚠️ Analizar datos pareados como independientes es un error grave: la variabilidad entre unidades se queda en el denominador y oculta diferencias reales. Es el antecedente directo del bloqueo que verás en ASC22.

En R: t.test(x1, x2, paired = TRUE) o t.test(x1 - x2).

5. Razón de varianzas (F)

H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2, \qquad F_0 = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F_{n_1-1,\,n_2-1}\ \text{bajo } H_0 .

Se usa para comparar consistencia (¿la línea B es más variable que la A?) y como diagnóstico antes de la $t$ combinada. En R: var.test(y ~ grupo).

⚠️ La prueba $F$ es muy sensible a la no normalidad. Si los datos no son normales, usa la prueba de Levene (car::leveneTest), más robusta.

6. Supuestos y reporte

Prueba	Supuestos	Si fallan
$t$ (cualquiera)	Independencia; normalidad (de cada grupo o de las diferencias)	Con $n$ moderado, la $t$ es robusta (TCL); con $n$ pequeño y asimetría: transformar o usar Wilcoxon 🔵
$F$	Independencia; normalidad estricta	Levene

Reporte mínimo: estadístico, gl, valor p, diferencia estimada con su IC y conclusión en el lenguaje del proceso.

Para repasar

Se mide la rugosidad de 15 piezas antes y después de un pulido. ¿Qué prueba usas?
¿Por qué un IC para $\mu_1-\mu_2$ que no contiene 0 equivale a rechazar $H_0$ ?
¿En qué situación la $t$ combinada puede dar un valor p engañoso?

Referencias

Montgomery, D. C. y Runger, G. C. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, cap. 10.
Montgomery, D. C. Design and Analysis of Experiments, cap. 2.

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