Puente conceptual al ANOVA — Análisis Estadístico

Objetivos. Comprender la idea de partición de la variabilidad y el estadístico $F$ como herramienta para comparar más de dos medias, sin entrar todavía en diseños (que ASC22 desarrolla a partir del experimento de un factor). · RAA3

1. ¿Por qué no hacer muchas pruebas t?

Con $a = 3$ proveedores hay 3 comparaciones por pares; con $a = 5$ , 10. Si cada una se hace con $\alpha = 0.05$ , la probabilidad de al menos una falsa alarma crece:

P(\text{al menos un error tipo I}) \approx 1-(1-\alpha)^{m}.

Con $m = 10$ : $1 - 0.95^{10} \approx 0.40$ . El análisis de varianza (ANOVA) compara todas las medias en una sola prueba.

2. La idea: partir la variabilidad total

Con $a$ grupos de $n$ observaciones ( $N = an$ ), $\bar{y}_{i\cdot}$ media del grupo $i$ y $\bar{y}_{\cdot\cdot}$ media global:

\underbrace{\sum_{i}\sum_{j}(y_{ij}-\bar{y}_{\cdot\cdot})^2}_{SC_T} = \underbrace{n\sum_{i}(\bar{y}_{i\cdot}-\bar{y}_{\cdot\cdot})^2}_{SC_{\text{Entre}}} + \underbrace{\sum_{i}\sum_{j}(y_{ij}-\bar{y}_{i\cdot})^2}_{SC_{\text{Dentro}}=SC_E}

Entre grupos: cuánto se separan las medias de los grupos (señal).
Dentro de los grupos: el ruido o error experimental.

3. El estadístico F

F_0 = \frac{CM_{\text{Entre}}}{CM_E} = \frac{SC_{\text{Entre}}/(a-1)}{SC_E/(N-a)} \;\sim\; F_{a-1,\,N-a}\ \text{bajo } H_0:\mu_1=\dots=\mu_a .

Fuente	gl	SC	CM	$F_0$
Entre grupos	$a-1$	$SC_{\text{Entre}}$	$SC_{\text{Entre}}/(a-1)$	$CM_{\text{Entre}}/CM_E$
Dentro (error)	$N-a$	$SC_E$	$SC_E/(N-a)$
Total	$N-1$	$SC_T$

Si $H_0$ es cierta, ambos CM estiman $\sigma^2$ y $F_0 \approx 1$ .
Si las medias difieren, $CM_{\text{Entre}}$ crece y $F_0 \gg 1$ .

Es la misma distribución $F$ de la razón de varianzas: el ANOVA compara medias comparando dos estimaciones de varianza.

4. Relación con lo que ya sabes

Con $a = 2$ , el ANOVA equivale a la $t$ con varianza combinada: $F_0 = t_0^2$ .
$CM_E$ es la generalización de $s_p^2$ .
Los supuestos son los mismos: independencia, normalidad y varianzas iguales, y se verifican con residuales (documento 05).
La regresión lineal (documento 04) produce una tabla ANOVA con la misma lógica.

5. Lo que queda para ASC22

El modelo de efectos $y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}$ y su estimación.
Comparaciones múltiples (Tukey, Dunnett) para saber cuáles medias difieren.
Diseños con bloques, factoriales y más.

En R (solo para explorar): summary(aov(y ~ grupo, data = df)).

Para repasar

¿Qué indica un $F_0$ cercano a 1?
Si $SC_T = 120$ y $SC_E = 90$ con $a = 4$ y $N = 24$ , calcula $F_0$ .
¿Por qué el ANOVA, a pesar de su nombre, sirve para comparar medias?

Referencias

Montgomery, D. C. Design and Analysis of Experiments, cap. 3.

03 Puente conceptual al ANOVA