Del intervalo de confianza a la prueba: distribuciones t, χ² y F — Análisis Estadístico

Objetivos. Construir e interpretar intervalos de confianza para una media, una varianza y una razón de varianzas, reconociendo la distribución muestral que sustenta cada uno. · RAA3

1. Estimación puntual y por intervalo

Un estimador puntual ( $\bar{y}$ , $s^2$ ) da un solo número; un intervalo de confianza (IC) del $100(1-\alpha)\,\%$ da un rango de valores plausibles para el parámetro y expresa la precisión de la estimación.

Interpretación correcta. Si se repitiera el muestreo muchas veces, el $100(1-\alpha)\,\%$ de los intervalos así construidos contendría el verdadero parámetro. Un intervalo ya calculado lo contiene o no; la “confianza” es del procedimiento.

2. Tres distribuciones muestrales

Si $y_1,\dots,y_n \sim N(\mu,\sigma^2)$ independientes:

Estadístico	Distribución	Se usa para	En R
$T=\dfrac{\bar{y}-\mu}{s/\sqrt{n}}$	$t_{n-1}$	Media con $\sigma$ desconocida	`qt`, `pt`
$X^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$	$\chi^2_{n-1}$	Una varianza	`qchisq`, `pchisq`
$F=\dfrac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}$	$F_{n_1-1,\,n_2-1}$	Razón de dos varianzas	`qf`, `pf`

La $t$ es simétrica, con colas más pesadas que la normal; tiende a $N(0,1)$ al crecer $n$ .
La $\chi^2$ y la $F$ son asimétricas y solo toman valores positivos.
La $t$ es robusta a la no normalidad (gracias al TCL); la $\chi^2$ y la $F$ no lo son.

3. Intervalos de confianza

Media ( $\sigma$ desconocida):

\bar{y} \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}

Varianza (y, sacando raíz, desviación estándar):

\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}} \;\le\; \sigma^2 \;\le\; \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}

Razón de varianzas:

\frac{s_1^2}{s_2^2}\,\frac{1}{F_{\alpha/2,\,n_1-1,\,n_2-1}} \;\le\; \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \;\le\; \frac{s_1^2}{s_2^2}\,F_{\alpha/2,\,n_2-1,\,n_1-1}

Aquí $t_{\alpha/2,\nu}$ y $\chi^2_{\alpha/2,\nu}$ denotan el valor que deja un área $\alpha/2$ a la derecha (en R: qt(1 - alpha/2, nu), qchisq(1 - alpha/2, nu)).

Ejemplo: espesor de recubrimiento

Con $n=25$ , $\bar{y}=51.28$ µm y $s=1.54$ µm, $t_{0.025,24}=2.064$ :

51.28 \pm 2.064\cdot\frac{1.54}{\sqrt{25}} = 51.28 \pm 0.64 \;\Rightarrow\; [50.64,\ 51.91]\ \mu\text{m}.

El valor objetivo de 50 µm no está dentro del IC: los datos sugieren que el proceso está centrado por encima del objetivo.

4. Del intervalo a la prueba (dualidad)

Para una prueba bilateral de nivel $\alpha$ :

\text{Se rechaza } H_0:\theta=\theta_0 \iff \theta_0 \notin \text{IC}_{100(1-\alpha)\%}(\theta).

El IC responde dos preguntas a la vez: si hay diferencia (¿contiene $\theta_0$ ?) y de qué tamaño puede ser (su amplitud y ubicación). Por eso se recomienda reportarlo siempre junto con el valor p (documento 05).

5. Tamaño de muestra para estimar una media

Para que el semiancho del IC no supere un error $E$ (con $\sigma$ aproximada de un estudio piloto):

n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2 .

Para repasar

¿Por qué el IC para $\sigma^2$ no es simétrico alrededor de $s^2$ ?
Si duplicas $n$ , ¿en qué factor se reduce la amplitud del IC para $\mu$ ?
¿Qué supuesto es más crítico para el IC de la varianza que para el de la media?

Referencias

Montgomery, D. C. y Runger, G. C. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, cap. 8.
Navidi, W. Estadística para ingenieros y científicos, cap. 5.

04 Del intervalo de confianza a la prueba: distribuciones t, χ² y F